Memahami lebih cipataan Allah

http://www.harunyahya.com/

tman.. buka situs ini utk lebih memahami agama islam

Teknik menghitung cepat 2 angka pangkat dua

54² = 2916
29 kita peroleh dari 25 + 4
16 kita peroleh dari 4²
56² = 3136
31 kita peroleh dari 25 + 6
36 kita peroleh dari 6²
57² = 3249
32 kita peroleh dari 25 + 7
49 kita peroleh dari 7<sup>2

semoga bermanfaat y teman....</sup>

Sejarah Matematika

Matematika abad 16

1. Menuju Aljabar dengan Lambang-lambang

Robert Recorde (± 1510-1558) menulis karya dalam aljabar,geometri dan astronomi.th 1557 ia menulis aljabar dengan judul “THE WHETSTONE OF DE WITTE”,dala buku ini pertama kali digunakan lambang “=” untuk kesamaan yang digunakan zaman sekarang.

Christoff Rudolf (±1525) menulis buku aljabar dengan judul “DIE COSS”,dalam buku ini dikenalkan lambang “√”

Michael Stifel (1486-1567),seorang biarawan jerman,menerbitkan buku dengan judul “ARITHMATICA INTEGRA” pada tahun 1553.dalam buku ini menguraikan bilangan rasional,irasional,deret aritmatika,deret geometri dan koofesien binomial hingga pangkat ke tujuh.

Dalam buku itu memakai lambang +,-,dan sebagai operasi hitung dan memakai huruf untuk yang tidak diketahui.

2. Aljabar yang berdiri sendiri

Spione del Ferro (1465-1526) pada th menulis persamaan pangkat tiga x³ + mx = n,tetapi tidak menerbitkannya.

Tartaglia (1499-1557) lahir di Brescia Italia,putra seorang petani miskin.pada serbuan perancis ke italia ia disiksa sehingga tak dapat berbicara dengan baik.pada tah penemuannya menyelesikan persamaan pangkat tiga dalam bentuk x³ + px² = n.

Girolamo Cardano ( 1501-1576) menulis arimatika,asronomi,fisika.karyanya yang paling terkenal mengenai aljabar dengan judul “ARS MAGNA”,ditulis pada tahun 1545,dalam buku ini di muat hasil penemuan Tartaglia untuk menyelesaikan persamaan pangkat 3.

Penyelesaian persamaan kuadrat sudah mengikutsertakan akar-akar negatif.ia sudah menghitung dengan bilangan imajiner,menghitung akar persamaan dengan pendekatan tertentu.metode menyelesaikan persamaan x³ + mx = n dikerjakan sebagai berikut :

(a-b)³ +3ab(a-b) =a³ – b³

Jika dipilih 3ab = m,a³ – b³ = n dan a – b = x

3ab = m,b =m/3a maka a³ – b³ =a³ – ( m/3a)³= n

a⁶ – (m/3 )³ = n a ³ => (a³)² – na³ – (m/3)³= 0

a³ = n ± √n² + 4 (m/3)³

2

a= ³√ (n/2) + √(n/2)² + (m/3)

dengan cara sama ditentukan

³√-(n/2) +√(n/2)² = (m/3)³

Pada tahun 1540 Zuanne de Tonini da Coi mengajukan soal kepada cardano yang menghasilkan persamaan pangkat empat,tetapi ia tak dapat menyelesaikannya.Ferrari berhasil menyelesaikan persamaan itu ialah:

x⁴ +px² +qx + r = 0

x⁴ + 2px² + p² = px² – qx- r+ p²

(x² + p)² = px² – qx + p² – r

Dibentuk lagi persamaan

( x + p+ y ) = px² + qx + p² – r -2y(x² + p) + y²

= (p + 2y)x + qx + (p² – r + 2py + y² ) = 0

Supaya ruas kanan menjadi kuadrat sempurna harus dipenuhi:

q² – 4(p+2y)( p² – r – 2py + y² ) = 0

q² – 4p³ + 4pr -8p²y -4y² – 8p³y + 8ry – 16py² – 8y³ = 0

8y³ + (4+16p)y³ +(8p²-8p³-8r)y -q² +4p³ – 4pr = 0

8y³+ (8p²-8p³-8r) + (4p³-4pr-q²) = 0

Rafael Bombelli menulis aljabar (1572).ia menulis syarat penyelesaian persamaan pangkat tiga x³ + mx = n.

Jika (n/2)² + (m/3)³ < 0 ,maka penyelesaian pangkat tiga itu mempunyai tiga akar real,ia memperbaiki notasi penulisan aljabar ahli sebelunya.ia menggunakan tanda kurung dengan lambang ‘L˩”.Bombelli membedakan penulisan akar pangkat dua dengan Rq dan akar pangkat tiga dengan Rc.

Untuk menulis akar dari bilangan negatif misalnya √-2 ditulis dengan “dim Rg 11 “

Misalnya Bombelli akan menulis

³√5 + √-2 sebagai Rc L5p di m Rq 2˩

3. Aljabar menggunakan huruf

Francois Viete ( 1540-1630) ia menulis buku trigonometri pada tahun 1579 dengan judul “CANON MATHEMATICUS SEU AD TRIANGULA”.Ia menyatakan cos n Ө , n =1,2,…,9 dengan cosƟ.

Sebelum viete lambang penulisan pangkat yang berbeda ditulis dengan huruf berbeda walau basisnya sama.ia sudah memakai lambang + dan -,tetapi belum memakai lambang untuk sama dengan.untuk A² ditulis A quad,A³ di tulis A cub,dst.

4. Persamaan derajat tinggi

Metode Vitae terhadap persamaan kuadrat x² +mx = n,dikerjakan sebagai berikut:

Andaikan x₁ pendekatan salah satu akarnya,x₁ + x₂ pendekatan,maka:

(x₁ + x₂)² + m(x₁ + x₂) = n

x² + 2x₁x₂ + mx₁ + mx₂ = n

bila x₂ demikian kecil sehingga x₂² dapat di abaikan,sehinnga diperoleh

x₁² + 2x₁x₂ + mx₁ + mx₂ = n

x₂(2x₁ + m) = n – x₁² – mx₁ atau

x₂ = m – x₁² -2mx₁

2x₁ + m

Persamaan x³ + 3ax = 2ab diselesaikan sebagai berikut:

Misal x =a/y – y,maka

(a/y – y³) + 3a (a/y – y) =2b

a³/y³ – 3 a²/y².y + 3 a/y.y² -y³ + 3a²/y – 3ay = 2b

a³/y³ – 3a²/y +3ay -y³ +3a²/y – 3ay = 2bx

a³ – y⁶ = 2by³ – a³

(y³)² +2b(y)³ = a³

Direduksi menjadi peramaan kuadrat dalam y³ kemudian diselesaikan untuk x.

Ferrari (1522-1565) menyelesaikan pangkat empat dalam bentuk:

x⁴ + ax² + bx = c atau x⁴ = c – ax² – bx

cara Ferrari adalah sebagai berikut:

pada ruas kiri dan kanan ditambah x²y² + y⁴/4 maka

x⁴ + x²y² + y⁴/4= x²y² +y⁴/4 – ax² + bx + c

(x² + y²/2)² = (y² – a)x² -bx + y⁴/4 + c)

Dipilih y sehinnga ruas kanan menjadi kuadrat sempurna,yaitu bila dipenuhi

b² – 4(y² -a )(y⁴/4 + c) atau

y⁶ – ay⁴ + 4cy² = 4ac + b²

5. Mengakiri abad 16

Simon Stevin (1548-1620) dari belanda menulis aritmatika menulis tentang pecahan desimal,statistik dan hidrostatika.

Nicolas Copernicus (1473-1543) dari polandia menulis teori alam semesta,menulis perbaikan trigonometri.

George Joachim Rhaeticus(1514-1575) murid covernicus , ia menyusun tabel trigonometri dan 6 fungsi dalam interval detik

Rhaeticus mendefenisikan fungsi trigonomtri dinyatakan dengan segitiga siku-siku.

Pada akhir abad 16,perkembangan matematika sudah meletakkan dasar perkembangan selanjutnya yang cepat pada abad 17.